电 磁 感 应 中 的 “ 杆 + 导 轨 ” 模 型 一、单棒模型 阻尼式 电路特点 导体棒相当于电源 F  B2l 2 B2l 米乐 登录入口2v R ? r v0安培力的特点 安培力为阻力，并随速度减小而减小。 v 0 加速度特点 加速度随速度减小而减小 F B2l 2v 运动特点 a 减小的减速运动 a ? B ? 最终状态 静止 三个规律 1 能量关系： 2 mv2 ? 0 ? Q m m(R ? r) ? 0 动量关系： ?BIl ??t ? 0 ? mv mv ? R ? rq ? 0 q ? n R ? r Bl ??s 瞬时加速度： 7．变化  Fa ? B ? F 0 B2l 2v Bl R ? r 电动式 有摩擦 (2m)磁场m方(R向?不r)沿竖直方向 电路特点 导体为电动棒，运动后产生反电动势（等效于电机） 安培力的特点 安培力为运动动力，并随速度增大而减小。 加速度特点 加速度随速度(增E ?大E而）减小 运动特点 ? B 反 l a 减小的加速运动R? r 最终特征 匀速运动 两个极值 E  F ? ?mg mm最大加速度： v=0 时,E 反=0, m m Im ? R ? r F ? BI l, a ? m m m 最大速度： 稳定时，速度最大，电流最小 稳定后的能量转化规律 起动过程中的三个规律 I min E ? I E min 反 I 2 min (R ? r) ? ? mgv m 1动量关系： BLq ? ?mgt ? mv ? 0 1 能量关系： qE ? Q m m? mgS ? mv2 m 瞬时加速度： E F ? ?mg 2 (E ? Blv） 发电式 a ? B = B l ? ? g Fm m(R ? r) F 电路特点 导体棒相当于电源，当速度为 v 时，电动势 E＝ Blv 安培力的特点 安培力为阻力，并随速度增大而增大 加速度特点 加速度?随B速B度lv增l 大而减小 运动特点 a 减小的加速运R?动r 最终特征 匀速运动 两个极值 F ? ?mg mmv=0 时,有最大加速度： a ? m m Bma=0 时,有最大速度： F ? B m ? mg F B2l 2v (F ? ?mg )(R ? r ) a ? ? ? ? ? g ? 0 v ? B2l B2l 2 起动过程中的三个规律 Fv (BLv )2 ?m ? m m( R ? r ) m ? mgv Ft ? BLq ? ?mgt ?m mv m R??0 r m 动量关系： 能量关系： Fs ? Q  1 2?mgS ? mv2 2 E瞬时加速度： E F ? F ? ?mg m F B2l 2v Bma ? ? ? ? ? g ? B m 电容放电式： m m( R ? r ) 电路特点 电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动。 电路特点 电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动。 电流的特点 电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动， 同时产生阻碍放电的反电动势，导致电流减小，直至电流为零，此时 UC=Blv 最终特征 匀速运动 ，但此时电容器带电量不为零 最大速度 vm 电容器充电量：Q 0 ? CE 放电结束时电Q量?：CU ? CBlv m 电容器放电电量：?Q ? Q ? Q ? CE ? CBlv 对杆应用动量定理：mv 0 m ? BIl ??t ? Bl?Q v ? BlCE m ? B2l m ? B2l 2C 安培力对导体棒的冲量 I 安培力对导体棒做的功： 安 电容无外力充电式 ? mv m ? mBlCE m ? B2l 2C 易错点：认为电容器最终带电量为零 v 电路特点 导体棒相当于电源;电容器被充电. 0 电流的特点 导体棒相当于电源; F 为阻力， 棒减速, E 减小 安 有 I 感 I ? Blv ?U C I 渐小 电容器被充电。 感 UC 渐大，阻碍电流 R当 Blv=UC 时，I=0， F 运动特点 a 渐小的减速运动，最终做匀速运动。 最终特征 匀速运动 但此时电容器带电量不为零 最终速度 电容器充电量q：? CU =0，棒匀速运动。 安 最终导体棒的感应电动势等于电容两端电U 压? ：Blv 对杆应用动量定理m：v 0 mv ? BIl ??t ? Blq 电容有外力充电式 电路特点 导体棒为发电棒；电容器被充电。三个基本关系导体棒受到的安培力为：导体棒加速度可表示为： 回路中的电流可表示为： 电路特点 导体棒为发电棒；电容器被充电。 三个基本关系 导体棒受到的安培力为： 导体棒加速度可表示为： 回路中的电流可表示为： F ? BIl B a ? F ? F B m m ? CB m ? CB2 L2 回路中的电流恒定： CBlmg ?I mg ? CB 2 l 2 ? 导体棒受安培力恒定： F ? CB2l 2mg 导体棒克服安培力做的功等B 于m电?容C器B2储l 2 存的电能： 证明 二、双棒模型 无外力等距式 电路特点棒 2 相当于电源;棒 1 受安培力而加速起动,运动后产生反电动势. 电流特点 随着棒 2 的减速、棒 1 的加速，两棒的相对速度 v2-v1 变小，回路中电流也变 小。 两棒的运动情 况 安培力大小： 两棒的相对 速度变小,感应电流变小,安培力变小. 棒 1 做加速 度变小的加速运动 棒 2 做加速度变小的减速运动 最终两棒具有共同速度 两个规律 动量规律 两棒受到安培力大小相等方向相反, 系统合外力为零,系统m动v量守? (恒m. ? m )v 能量转化规律 系统机械能的减小量等于内能的增加量. 两棒产生焦耳热 之比： 2 0 1 2 共 几种变化： (1)初速度的提供方式不同 (2)磁场方向与导轨不垂直 (3) 无外力不等距式 (4)两棒都有初速度 (5)两棒位于不同磁场中 有外力等距式 电路特点 棒 2 相当于电源;棒 1 受安培力而起动. 运动分析：某时刻回路中电 流： 最初阶段，a2a1, 稳定时的速度差 变化 两棒都受外力作用供方式变化 无外力不等距式 电路特点 棒 1 相当于电源;棒 2 受安培力而加速起动,运动后产生反电动势. 电流特点 随着棒 1 的减速、棒 2 的加速， 最终当 Bl1v1= Bl2v2 时,电流为零,两棒 都做匀速运动 两棒的运动情况 安培力大 小： 两棒的相 对速度变小,感应电 流变小,安培力 变小. 棒 1 做加速度变小的减速运动，最终匀速; 棒 2 做加速度变小的加速运动，最终匀速; 外力提 最终特征 Bl v ? Bl v 回路中电流为零 能量转化规律 1 1系统动2 2能?电能?内能 两棒产生焦耳热之比： 流过某一截面的电量 有外力不等距式 运动分析： 杆 1 做 a 渐小的加速运动 a1≠a2 a1、a2 恒定杆 2 做 a 渐大的加速运动 I 恒定 某时刻两棒速度分别为 v1、 v2 加速度分别为 a1、a2 经极短时间 t 后其速度分别为： 此时回路中电流为： 练习 1．(多选)如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的足够长平行金属导轨，导轨间距为L，两导轨顶端连有一定值电阻 R，导轨平面与水平面的夹角为θ，匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直导轨平面向上，质量为 m、电阻为 r 的光滑导体棒从某一高度处由静止释放， 导体棒运动过程中始终与导轨垂直且与导轨接触良好，其他部分的电阻不计，重力加速度为g，则下列说法正确的是( ) A．导体棒先做加速度减小的加速运动，后做匀速运动B．若导体棒的速度为 v，则 R 两端的电压为 BLv mg?R＋r? C．导体棒的最大速度为 B2L2 D．在导体棒下滑过程中，电路中产生的焦耳热等于导体棒克服安培力所做的功 【解 析】AD [导体棒随着速度的增加，受到的安培力越来越大，因此受到的合力越来越小，加速度越来越小，故导体棒做加速度减小的加速运动，当加速度为零时，做匀速运动， RBLv A 正确；导体棒中产生的感应电动势为 E＝BLv，所以在电阻 R 上的电压为R＋r，B 错误；由 于导体棒匀速运动时有 mgsin θ B2L2v mg?R＋r?sin θ ，因此导体棒的最大速度为 ＝ R＋r B2L2 ，C 错误； 力等于滑动摩擦力，两导体棒与导轨始终接触良好，重力加速度 g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.根据功能关系，感应电流所产生的焦耳热在数值上等于导体棒克服安培力所做的功，D 正确．]练习 2．(多选)如图所示，间距为 l＝1 m 的导轨 PQ、MN 由电阻不计的光滑水平导轨和与水平面成 37°角的粗糙倾斜导轨组成，导体棒ab、cd 的质量均为 m＝1 kg、长度均为 l＝1 m、电阻均为 R＝0.5 Ω，ab 棒静止在水平导轨上，cd 棒静止在倾斜导轨上，整个装置处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度的大小 B＝ 2 T．现 ab 棒在水平外力 F 作用下由静止开始沿水平导轨运动，当 力等于滑动摩擦力，两导体棒与导轨始终接触良好，重力加 速度 g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8. 关于该运动过程，下列说法正确的是( ) A．cd 棒所受的摩擦力方向始终沿倾斜导轨向上 cd 棒所受的摩擦力方向先沿倾斜导轨向上后沿倾斜导轨向下 cd 棒开始滑动时，ab 棒的速度大小约为 20 m/s cd 棒开始滑动时，ab 棒的速度大小约为 10 m/s 【解析】BC [cd 棒刚开始静止在倾斜导轨上，μ＝0.8tan 37°＝0.75，cd 棒受到的摩擦力沿倾斜导轨向上，ab 棒向右运动切割磁感线使得 ab 棒、cd 棒中产生感应电流，cd 棒受到水平向右的安培力作用，cd 棒受到的摩擦力先沿倾斜导轨向上减小到零，后反向沿倾斜导轨向 B2l2v 下增大，故 A 错误，B 正确；当 cd 棒即将滑动时，由平衡条件 2R cos 37°＝mgsin 37°＋ ? ?? B2l2 ? ? μ?mgcos 37°＋ 2R sin 37°?，代入数据可得 v＝19.375 m/s，C 正确，D 错误．] 练习 3．如图所示，阻值均为 2 Ω的定值电阻 R1 和 R2 通过水平和倾斜平行金属导轨连接， 水平导轨和倾斜导轨平滑相接，导轨间距离为 0.5 m，倾斜导轨与水平面夹角为 60°，水平 导轨间存在方向竖直向上、磁感应强度大小为0.03 T 的匀强磁场，倾斜导轨处没有磁场．一根质量为 0.1 kg、长度为 0.5 m、阻值为 2 Ω的导体棒从倾斜导轨上一定高度处由静止释放， 导体棒与倾斜导轨间的动摩擦因数为 3 4 ，水平导轨光滑，导体棒在水平导轨上向右运动 s ＝2 m 停下来，在此过程中电阻 R1 上产生的热量为 0.3 J，导体棒始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度 g＝10 m/s2，则下列说法正确的是( ) 导体棒在倾斜导轨上释放点离水平面的高度为 2 m导体棒在导轨上运动的最大速度为 6 导体棒在倾斜导轨上释放点离水平面的高度为 2 m 导体棒在导轨上运动的最大速度为 6 m/s C．R1 两端的最大电压为 0.045 V 【解析】B [导体棒滑上水平导轨后做减速运动，因此滑上水平导轨的初速度 v0 是导体棒在导轨上运动的最大速度，导体棒在水平导轨上运动时，若电阻 R1 上产生热量为 Q，则导体 mv2 棒上产生热量为 4Q，电路产生的总热量为 6Q，由功能关系可得 2 0＝6Q，又 Q＝0.3 J，得 h mv2 θv ＝6 m/s，B 选项正确；导体棒在倾斜导轨上运动，有mgh－μmgcos θ· ＝ θ 0 sin 2 0，得 h＝2.4 m，A 选项错误；导体棒运动的最大速度为 v0，最大感应电动势为 Em＝Blv0，R1 两端 ＝Em ＝ 的最大电压 U ，得 U ΔΦ q ＝0.03 V，C 选项错误；通过导体棒的电荷量 q＝ ，q ＝ ＝ m 3 m R 1 2 总 0.005 C，D 选项错误．] 练习 4．如图甲所示，dc 和 ef 是足够长的光滑的金属导轨(不计电阻)水平放置，相距 L＝1 m， de 处接有一个电阻，在其两端的电压低于某个特定的值 U0 时，它的阻值与其两端的电压成正比，而其两端的电压大于等于 U0 时，它的电阻恒为 R0＝5 Ω，导轨间有垂直于导轨平面 的匀强磁场，磁感应强度为 B＝1 T，质量为 m＝0.5 kg，长度恰好能跨放在导轨上的金属杆 电阻不计，在水平向右的拉力作用下，从紧靠 de 处由静止开始做加速度为 a＝1 m/s2 的匀加速运动，水平拉力 F 与时间的关系如图乙所示． 试求电压的特定值 U0 和图中所标的 F0 的大小； 当 t＝0.5 s 时和 t＝2 s 时，电阻的发热功率分别为多大？ 从开始到运动 2 m m6米乐官网 米乐M6平台入口时，通过 R 的电荷量为多少？ 运动到 2 m 时刻撤去外力，金属杆还能运动多远？ 【解析】 U 1 当电压小于 U0 时，设电阻 R＝kU，所以电流 I＝R＝k，则 I 为定值 1 1 F－BLk＝ma，F＝ma＋BLk  B2L2v B2L2a R R当电压大于等于 U0 时，F－ ＝ma，F＝ma＋ t，而当 t＝1 s 时，速度 v＝at＝1 m/s， R R 0 0 U0＝BLv＝1 V B2L2a 1 0又当 t＝1 s 时，F＝ma＋ R t＝ma＋BLk，所以有 k＝5 0 故 F0＝0.7 N 1 s 以后的拉力与时间的关系为 F＝0.5＋0.2t (2)t＝0.5 s 时，v＝0.5 m/s，U＝E＝BLv＝0.5 V，R＝kU＝2.5 Ω U2 P1＝ R ＝0.1 W t＝2 s 时，F＝0.9 N，安培力 F v＝0.8 W ＝F－ma＝0.4 N，v＝2 m/s P ＝F 2安 安 2 U 1 (3)前 1 s，电流恒为 I＝R＝k＝0.2 A，q1＝It＝0.2 C，运动了 0.5 m. ΔΦ R余下的 1.5 m 是通过定值电阻 R0 的电荷量，q2＝ ＝0.3 C 所以 q＝q1＋q2＝0.5 C R 0 2 1(4)撤去外力时，速度为 v2＝2 m/s，电压 U ＝2 V，变减速运动到速度 v ＝1 m/s 2 1 B2L2x1＝m(v R0 2－v 1)，x1 ＝2.5 m 此后，电流恒为 0.2 A，F ′＝BLI＝0.2 N，做匀减速运动， 安 F ′ v2 a′＝ 安 ＝0.4 m/s2 x ＝ 1 ＝1.25 m 所以 x＝x ＋x ＝3.75 m. m 2 2a′ 1 2 1 2练习５.如图所示, 金属导轨是由倾斜和水平两部分圆滑相接而成, 倾斜部分与水平夹角q=37°，导轨电阻不计。abcd 矩形区域内有垂直导轨平面的匀强磁场，bc=ad=s= 0.20 m。导轨上端搁有垂直于导轨的两根相同金属杆 P1、P2，且P1 位于 ab 与 P2 的中间位置，两杆电阻均为 R，它们与导轨的动摩擦因数 m= 0.30,P 杆离水平轨道的高度 h= 0.60m, 现使杆 P 1 2 让 P1 杆静止起滑下，杆进入磁场时恰能做匀速运动，最后 P1 杆停在 AA￠位置。求：(1)P 杆在水平轨道上滑动的距离 x；1(2)P 杆停止后，再释放 P 杆，为使 P 杆进入磁场时也做匀速运122动，事先要把磁场的磁感应强度大小调为原来的多少倍？ 让 P1 杆静止起滑下，杆进入磁场时恰能做匀速运动，最后 P1 杆 停在 AA￠位置。求： (1)P 杆在水平轨道上滑动的距离 x； 1 (2)P 杆停止后，再释放 P 杆，为使 P 杆进入磁场时也做匀速运 1 2 2 动，事先要把磁场的磁感应强度大小调为原来的多少倍？ P 2 2 1 【解析】(1) 设杆的质量为 m, 则杆进入磁场时受到的安培力 F=mgsinq-mmgcosq 解得:对 P1 解得: BIl=mgsinq -mmgcosq设杆长为 l BIl=mgsinq -mmgcosq 得：可见 B 与成反比.=0.84 所以应调到原来的 0.84 倍1 2设杆下滑加速度为 a, 由题意 P 、P 杆到 ab 的距离可记为 L、 得： 可见 B 与 成反比. =0.84 所以应调到原来的 0.84 倍 1 2 P2 杆必与 P1 杆发生碰撞. 因为此条件下,P2 杆进入磁场后做加速度变小的减速运动, 它离开磁场时的速度必大于 P1 杆离开磁场时的速度. 练习 6.如图所示，两足够长且不计其电阻的光滑金属轨道,如图所示放置,间距为 d=1m,在左端斜轨道部分高 h=1

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